Hàm lồi liên hợp của một hàm giá trị thực mở rộng f : X → R ∪ {±∞} (không nhất thiết phải là hàm lồi) là hàm f* : X* → R ∪ {±∞} với X* là không gian đối ngẫu của X, và[3]

f ∗ ( x ∗ ) = sup x ∈ X { ⟨ x ∗ , x ⟩ − f ( x ) } . {\displaystyle f^{*}\left(x^{*}\right)=\sup _{x\in X}\left\{\left\langle x^{*},x\right\rangle -f(x)\right\}.}

Hàm song liên hợp

Hàm song liên hợp của một hàm f : X → R ∪ {±∞} là hàm liên hợp của hàm liên hợp, thường được viết là f** : X → R ∪ {±∞}. Hàm song liên hợp đóng vai trò hữu ích trong việc xác định khi nào xảy ra đối ngẫu mạnh hoặc đối ngẫu yếu (thông qua hàm nhiễu).

Với mọi x ∈ X, bất đẳng thức f**(x) ≤ f(x) được suy ra từ bất đẳng thức Young–Fenchel. Đối với hàm lồi chính thường, f = f** khi và chỉ khi f lồi và nửa liên tục dưới, theo định lý Fenchel–Moreau.[3][4]